პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა

მათემატიკაში პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა ლის ალგებრის უნივერსალური მომვლები ალგებრის აღწერას.

ვთქვათ $\mathfrak{𝔤}$ ლის ალგებრაა F ველზე. მოდი $U(\mathfrak{𝔤})$ იყოს $\mathfrak{𝔤}$-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა. რადგან ეს უკანასკნელი არის ტენზორული ალგებრის ფაქტორ-ალგებრა, ამიტომ $U(\mathfrak{𝔤})$-ს გააჩნია გაფილტრული ალგებრის სტრუქტურა, სადაც $U_k(\mathfrak{𝔤})$ არის $U(\mathfrak{𝔤})$-ს ქვესივრცე მოჭიმული $\mathfrak{𝔤}$-ს არაუმეტრეს k-ელემენტთა ნამრავლების მიერ. შესაბამისი დაგრადული ალგებრა

$gr(U)(\mathfrak{𝔤})=U_0\oplus U_1/U_0\oplus \cdots \oplus U_k/U_{k-1}\oplus \cdots$

არის კომუტატური, ამასთან :$U_0=F$ და :$U_1(\mathfrak{𝔤})/U_0(\mathfrak{𝔤})=\mathfrak{𝔤}$ რის გამოც ჩნდება კომუტატურ ალგებრათა ერთადერთი ჰომომორფიზმი

$\pi :S^{*}(\mathfrak{𝔤})\to gr(U)(\mathfrak{𝔤})$

რომელიც იგივურია $\mathfrak{𝔤}$ ქვესივრცეზე. აქ $S^{*}(V)$ აღნიშნავს V ვექტორული სივრცით წარმოქნილ სიმეტრიულ ალგებრას. პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა ამბობს, რომ $\pi$ არის იზომორფიზმი.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1-2. Springer; 2006.

ISBN-10: 3540353356.