იხილეთ წყარო გვერდისთვის მაქსველის განტოლებები

'''მაქსველის განტოლებები''' — ოთხი კერძო წარმოებულიანი დიფერენციალური განტოლებისგან შემდგარი სისტემა, რომელიც აკავშირებს [[ელექტრული ველი|ელექტრულ]] და [[მაგნიტური ველი|მაგნიტურ]] ველებს მათ წყაროებთან: [[მუხტის სიმკვრივე]]სთან და [[დენის სიმკვრივე]]სთან. ამ განტოლებებიდან შესაძლებელია იმის ჩვენება, რომ [[სინათლე]] არის [[ელექტრომაგნიტური ტალღა]]. ცალ-ცალკე ამ ოთხ განტოლებას ეწოდება [[გაუსის კანონი]], [[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]], [[ფარადეის ინდუქციის კანონი]] და [[ამპერის კანონი]] მაქსველის კორექტირებით. განტოლებათა სისტემას სახელი ეწოდა ბრიტანელი ფიზიკოსის [[ჯეიმზ კლარკ მაქსველი]]ს პატივსაცემად.

მაქსველის განტოლებათა სისტემაში შემავალი ოთხი განტოლება, [[ლორენცის ძალა]]სთან ერთად შეადგენენ კლასიკური [[ელექტროდინამიკა|ელექტროდინამიკის]] კანონების სრულ სისტემას. აღსანიშნავია, რომ [[ლორენცის ძალა|ლორენცის ძალის]] გამოსახულება ასევე [[ჯეიმზ კლარკ მაქსველი|მაქსველის]] მიერ იქნა მიღებული ''ელექტრომამოძრავებელი ძალის განტოლების'' სახელწოდებით.

== ზოგადი აღწერა ==
ამ თავში მოცემულია მაქსველის განტოლებების კონცეპტუალური აღწერა და მათ შორის ურთიერთკავშირის მოკლე ანალიზი. განტოლებების მათემატიკური ფორმულირება მოცემულია შემდეგ თავებში. მაქსველის განტოლებათა სისტემა შედგება შემდეგი კანონებისგან:

* [[გაუსის კანონი]] - აღწერს [[მუხტი]]ს მიერ [[ელექტრული ველი]]ს გენერაციას.

* [[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]] ამტკიცებს, რომ ბუნებაში არ არსებობს ([[მუხტი|ელექტრული მუხტის]] ანალოგიური) ''მაგნიტური მუხტი'' (რომელსაც ხშირად [[მაგნიტური მონოპოლი|მაგნიტურ მონოპოლს]] უწოდებენ).<ref name=VideoGlossary>{{Cite web |url=http://videoglossary.lbl.gov/2009/maxwells-equations/ |title=J.D. Jackson, "Maxwell's Equations" video glossary entry |accessdate=2010-04-01 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100207162055/http://videoglossary.lbl.gov/2009/maxwells-equations/ |archivedate=2010-02-07 }}</ref> ამის სანაცვლოდ, მაგნიტური ველი გენერირდება [[დიპოლი|დიპოლური]] კონფიგურაციებს მიერ, რომელსაც არ აქვს ჯამური ''მაგნიტური მუხტი''. მაგნეტიზმისთვის გაუსის კანონის ექვივალენტური ფორმულირება ასეთია: [[მაგნიტური ნაკადი]] რომელიც განჭოლავს ნებისმიერ ჩაკეტილ ზედაპირს ნულის ტოლია.

[[ფაილი:Magnetic core.jpg|right|thumb|250|[[მაგნიტურ გულარიანი მეხსიერება]] (1954წ) არის [[ამპერის კანონი]]ს პრაქტიკული გამოყენებსი შედეგი. თითოეული [[მაგნიტური გულარი]] ინახავს ერთ [[ბიტი|ბიტ]] ინფორმაციას.]]

* [[ფარადეის ინდუქციის კანონი]] აღწერს დროში ცვლადი [[მაგნიტური ველი]]ს მიერ [[ელექტრული ველი]]ს გაჩენას. ეს მოვლენა, რომელსაც [[ელექტრომაგნიტური ინდუქცია]] ეწოდება საფუძვლად უდევს [[ელექტრული გენერატორი]]ს მუშაობას. [[მაგნიტი]]ს მოძრაობით იღებენ ცვლად მაგნიტურ ველს, რომელიც თავის მხრივ აგენერირებს სადენის ხვიებში ელექტრულ ველს.

* [[ამპერის კანონი]] მაქსველის კორექტირებით ამტკიცებს, რომ მაგნიტური ველი შეიძლება ორი მიზეზის გამო გაჩნდეს: [[ელექტრული დენი]]თ ([[ამპერის კანონი]]) და დროში ცვლადი [[ელექტრული ველი]]თ (''მაქსველის კორექტირება'').

ამპერის კანონის მაქსველის კორექტირება (წანაცვლების დენი) განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია. ამ კორექტირების მიხედვით ცვლადი [[მაგნიტური ველი]] აგენერირებს [[ელექტრული ველი|ელექტრულ ველს]].<ref name=VideoGlossary/><ref>[http://books.google.com/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA809 ''Principles of physics: a calculus-based text''], by R.A. Serway, J.W. Jewett, page 809.</ref> მაშასადამე, მაქსველის განტოლებათა სისტემა უშვებს სპეციფიკური თვითშეთანხმებულიამონახსენის, [[ელექტრომაგნიტური ტალღა|ელექტრომაგნიტური ტალღის]] არსებობას ვაკუუმში.

== მათემატიკური ფორმულირება ==
ქვემოთ მოცემულია მაქსველის განტოლებები [[SI სისტემა]]ში. მექანიკის განტოლებებისგან განსხვავებით [[ელექტროდინამიკა|ელექტროდინამიკის]] განტოლებების სახე დამოკიდებულია არჩეულ ერთეულთა სისტემაზე.<ref name=Griffiths>
{{cite book 
|author=David J Griffiths
|title=Introduction to electrodynamics
|year= 1999
|edition=Third Edition
|pages=559–562
|publisher=Prentice Hall
|isbn=013805326X
|url=http://worldcat.org/isbn/013805326X
}}</ref>)

ქვემოთ მოცემულია მაქსველის განტოლებების ორი ექვივალენტური სახე. პირველ ფორმულირებაში ხდება ე.წ.  ''ბმული (შიდა) მუხტისა'' და ''ბმული (შიდა) დენის'' (ჩნდება დიელექტრიკებსა და დამაგნიტებულ მატერიალებში) გამოყოფა ე.წ. ''თავისუფალი მუხტსა'' და ''თავისუფალი დენისგან''. ასეთი გაყოფა სასარგებლოა დიელექტრიკებსა და დამაგნიტებულ ნივთიერებებში ელექტრული ველების ანალიზის დროს. მეორე მიდგომაყველა სახის მუხტს თანაბრად განიხილავს (და ოპერირებს ცნებით ''სრული მუხტი'' და შესაბამისად ''სრული დენი''). მეორე მიდგომა უფრო ფუნდამენტურია, მაგრამ როგორც წესი უფრო რთულ გათვლებს მოიცავს.

{| class="wikitable" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
|+ ფორმულირება თავისუფალი მუხტებისა და დენებისათვის
|-
! სახელი
! დიფერენციალური ფორმა
! ინტეგრალური ფორმა
|-
| [[გაუსის კანონი]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f</math>     
| <math>\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf D\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A = Q_{f}(V)</math>
|-
| [[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>    
| <math>\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf B\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A = 0</math>
|-
| მაქსველ-ფარადეის განტოლება<br />([[ფარადეის ინდუქციის კანონი]])
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>     
| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}  = - \frac {\partial \Phi_{B,S}}{\partial t} </math>
|-
| [[ამპერის კანონი]]<br />(მაქსველის შესწორებით)
| <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math> <math></math>
| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{f,S} + \frac {\partial \Phi_{D,S}}{\partial t}
 </math>
|}

{| class="wikitable"
|+ ფორმულირება ''სრული'' მუხტისა და დენისთვის 
|-
! სახელი
! დიფერენციალური ფორმა
! ინტეგრალური ფორმა
|-
| [[გაუსის კანონი]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>     
|<math>\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf E\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A = \frac{Q(V)}{\varepsilon_0}</math>
|-
| [[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>    
| <math>\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf B\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A = 0</math>
|-
| მაქსველ-ფარადეის განტოლება<br />([[ფარადეის ინდუქციის კანონი]])
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>     
| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}  = - \frac {\partial \Phi_{B,S}}{\partial t} </math>
|-
| [[ამპერის კანონი]]<br />(მაქსველის შესწორებით)
| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 
| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\partial \Phi_{E,S}}{\partial t}
 </math>
|}

ქვემოთ მოყვანილ ცხრილში თავმოყრილია მაქსველის განტოლელებში წარმოდგენილი ყველა ფიზიკური სიდიდის დასახელება და ერთეული [[SI სისტემა]]ში:

{| class="wikitable"
|+ განსაზღვრება და ერთეული
|-
! სიმბოლო
! სიდიდე
! SI სისტემის ერთეული
|-
|  <math>\mathbf{E} \ </math> 
|  [[ელექტრული ველის დაძაბულობა]]
|  [[ვოლტი]] [[მეტრი|მეტრზე]] ან, (ექვივალენტურია) <br />[[ნიუტონი]] [[კულონი|კულონზე]]
|-
|  <math>\mathbf{B} \ </math> 
|  [[მაგნიტური ინდუქცია]]  
|  [[ტესლა (ერთეული)|ტესლა]]
|-
|  <math>\mathbf{D} \ </math> 
|  [[ელექტრული ინდუქცია]]  
|  [[კულონი]] კვადრატულ [[მეტრი|მეტრზე]] 
|-
|  <math>\mathbf{H} \ </math> 
|  [[მაგნიტური ველის დაძაბულობა]] 
|  [[ამპერი]] [[მეტრი|მეტრზე]]
|-
| <math>\mathbf{\nabla \cdot}</math>
| [[დივერგენცია|დივერგენციის]] ოპერატორი
|rowspan=2 | 1/[[მეტრი|მეტრზე]]
|-
|  <math>\mathbf{\nabla \times}</math>
| the [[როტორი]]ს ოპერატორი
|-
|  <math>\frac {\partial}{\partial t}</math>
| [[კერძო წარმოებული]] დროის მიხედვით
| 1/[[წამი]]
|-
|  <math>\mathrm{d}\mathbf{A}</math> 
| ''A'' ზედაპირის ინფინიტეზიმალური ვექტორული ელემენტი რომლის მიმართულება ''S'' ზედაპირის ნორმალის პარალელურია.
| კვადრატული [[მეტრი]]
|-
|  <math> \mathrm{d} \mathbf{l} </math>
| წირის გასწვრივი დიფიერენციალური ვექტორული ელემენტი 
| მეტრი
|-
|  <math>\varepsilon_0 \ </math>
| [[ელექტრული მუდმივა]]
| [[ფარადა]] მეტრზე
|-
|  <math>\mu_0 \ </math>
| [[მაგნიტური მუდმივა]]
| [[ჰენრი (ერთეული)|ჰენრი]] მეტრზე
|-
|  <math>\ \rho_f \ </math>
| [[თავუსუფალი მუხტი|თავისუფალი]] [[მუხტის სიმკვრივე]] 
|   [[კულონი]] კუბურ მეტრზე
|-
|  <math>\ \rho \ </math>
| სრული [[მუხტის სიმკვრივე]] 
|  [[კულონი]] კუბურ მეტრზე
|-
| <math>\mathbf{J}_f</math>
| [[თავისუფალი დენი|თავისუფალი]] [[დენის სიმკვრივე]] 
| [[ამპერი]] კვადრატულ მეტრზე
|-
| <math>\mathbf{J}</math>
| სრული [[დენის სიმკვრივე]] (მოიცავს როგორც [[თავისუფალი დენი|თავისუფალ]], ასევე [[ბმული დენი|ბმულ დენებს]])
| [[ამპერი]] კვადრატულ მეტრზე
|-
|  <math>\,Q_f (V)</math>
| სრული [[თავუსუფალი მუხტი|თავისუფალი]] [[მუხტის სიმკვრივე]] რაიმე ''V'' მოცულობაში
| [[კულონი]]
|-
|  <math>\,Q(V)</math>
| სრული [[მუხტი]] რაიმე  ''V'' მოცულობაში (მოიცავს როგორც [[თავისუფალი მუხტი|თავისუფალ]] ასევე [[ბმული მუხტი|ბმულ მუხტს]])
| [[კულონი]]
|-
|  <math>\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}</math>
| [[ელექტრული ველის დაძაბულობა|ელექტრული ველის დაძაბულობის]] წირითი [[ინტეგრალი]] რაიმე  S ზედაპირის სასაზღვრო ∂S (ჩაკეტილი) წირის გასწვრივ.
| [[ჯოული]] კულონზე
|-
|  <math>\oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}</math>
| [[მაგნიტური ინდუქცია|მაგნიტური ინდუქციის]] წირითი [[ინტეგრალი]] რაიმე  S ზედაპირის სასაზღვრო ∂S (ჩაკეტილი) წირის გასწვრივ
| [[ტესლა (ერთეული)|ტესლა]] მეტრზე
|-
|  <math>\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf E\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A</math>
| [[ელექტრული ნაკადი]] ([[ელექტრული ველის დაძაბულობა|ელექტრული ველის დაძაბულობის]] ზედაპირული ინტეგრალი) რაიმე ჩაკეტილ ზედაპირზე <math>\partial V</math> (''V'' მოცულობის საზღვარზე)
| ჯოული მეტრი კულონზე
|-
|  <math>\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf B\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A</math>
| [[მაგნიტური ნაკადი]] ([[მაგნიტური ინდუქცია|მაგნიტური ინდუქციის]] ზედაპირული ინტეგრალი) რაიმე ჩაკეტილ ზედაპირზე <math>\partial V</math> (''V'' მოცულობის საზღვარზე)
| [[ტესლა (ერთეული)]] [[მეტრი]]<sup>2</sup>, ან [[ვებერი (ერთეული)|ვებერი]]
|-
|  <math>\iint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} = \Phi_{B,S}</math>
| [[მაგნიტური ნაკადი]] რაიმე S ზედაპირზე
| [[ვებერი (ერთეული)|ვებერი]] ან (ექვივალენტურია) [[ვოლტი]] [[წამი]]
|-
|  <math>\iint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} = \Phi_{E,S}</math>
| [[ელექტრული ველის დაძაბულობა|ელექტრული ველის დაძაბულობის]] ნაკადი რაიმე S ზედაპიზე
| [[ჯოული]] [[მეტრი]] [[კულონი]]<sup>−1</sup>
|-
|  <math>\iint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} = \Phi_{D,S}</math>
| [[ელექტრული ინდუქცია|ელექტრული ინდუქციის]] ნაკადი რომელიც განჭოლავს რაიმე Sზედაპირს
| [[კულონი]]
|-
|  <math>\iint_S \mathbf{J}_f \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} = I_{f,s}</math>
| სრული [[თავისუფალი დენი|თავისუფალი]] [[ელექტრული დენი]] გამავალი რაიმე S ზედაპირში 
| [[ამპერი]] 
|-
|  <math>\iint_S \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} = I_{S}</math>
| სრული [[ელექტრული დენი]] გამავალი რაიმე S ზედაპირში 
| [[ამპერი]] 
|}

== მაქსველის განტოლებები გარემოში ==
=== ბმული (შიდა) მუხტი და დენი ===

[[ფაილი:Polarization and magnetization.svg|thumb|300px|''მარცხნივ:'' იმის ილუსტრაცია, რომ მიკროსკოპული დიპოლების მოწესრიგებსი შედეგად იქმნება სივრცეში გაყოფილი, მაკროსკოპული მუხტების გადანაწილება (საპირისპირო ზედაპირებზე შეიქმნა ორი დამუხტული ზედაპირი). საზღვრებს შიგნით სხვადასხვა მიკრო დიპოლების წვლილი ბათილდება, ხოლო საზღვარზე არა.; ''მარჯვნივ:'' ილუსტრაცია, როგორ ქმნის მიკროსკოპული დენების მარყუჟების ერთობლიობა მაკროსკოპული დენის მარყუჟს. საზღვრებს შიგნით სხვადასხვა მიკრო მარყუჟების წვლილი ბათილდება, ხოლო საზღვარზე არა.]]

როდესაც ელექტრული ველი მოდებულია [[დიელექტრიკი|დიელექტრიკზე]], მისი თითოეული მოლეკულა მცირედ დეფორმირდება, ისე რომ იგი ქმნის ელექტრულ დიპოლს - ბირთვი მცირედ  წაინასვლებს ველის მიმართულებით, ხოლო [[ელექტრონი]]ს საშუალო მდებარეობა მცირედ წაინაცვლებს ველის საპირისპირო მიმართულებით. ამ მოვლენას სხეულის პოლარიზაცია ეწოდება. იდეალიზირებულ შემთხვევაში (იხ. სურათი) ეს გადახრები იდენტურია და იწვევს დადებითი [[მუხტი]]ს თავმოყრას ერთ მხარეს, ხოლო ურყოფითი მუხტისას მეორე მხარეს (მუხტის მაკროსკოპული გაყოფა), მიუხედავად იმისა, რომ სხეულში არსებული ყველა მუხტი კვლავ ბმულია კონკრეტულ მოლეკულასთან. მოცულობითი პოლარიზაცია  '''P''' არის შიდა (ბმული) მუხტის პოლარიზაციის შედეგი.

ამის მსგავსად, ისეთ მატერიალებზე, რომლის ატომებს ახასიათებთ არანულოვანი [[მაგნიტური მომენტი]] (რომელიც შეიძლება წარმოვიდგინოთ, როგორც მიკროსკოპული დენის მარყუჟები), მაგნიტური ველის მოქმედებისას ხდება ამ მიკროსკოპული დენების მოწესრიგება, რაც აჩენს ჯამურ, მაკროსკოპულ, ბმულ (შიდა) დენს. ამ უკამასკნელის აღწერა შესაძლებელია გარკვეული '''M''' [[ვექტორული ველი]]ს შემოყვანით.

ეს განხილვა გვიჩვენებს, რომ ბევრ პრაქტიკულ ამოცანაში ატომების მიკრისკოპული დინამიკა შეიძლება დამაკმაყოფილებლად იქნას აღწერილი გამარტივებული მიდგომის ფარგლებში, მიკროსკოპული თვისებების დეტალების დაკონკრეტების გარეშე.

=== მატერიალური განტოლებები ===
იმისთვის, რომ მაქსველის განტოლებათა სისტემამ მიიღოს ჩაკეტილი სახე და შეძაძლებელი გახდეს მისი ამოხსნა, საჭიროა დამატებით თანაფარდობების შემოტანა, რომლებიც ერთმანეთთნ დააკავშირებს '''D''' და '''E''' ველებს ერთი მხრივ, '''H''' და '''B''' ველებს მეორე მხრივ.

ასეთი კავშირების საჭიროების მოთხოვნა არის იმ ფაქტის მანიფესტაცია, რომ მაქსველის განტოლებების ამოხსნა გარემოში შეუძლებელია, თუ არ არსებობს ინფორმაცია იმის შესახებ, როგორ რეაგირებს განსახილველი გარემოს ბმული მუხტი და დენი მასზე მოდებულ ელექტრომაგნიტურ ველზე. ''თავისუფალ'' მუხტზე და დენზე მოდებული ველის მოქმედება განისაზღვრება [[ლორენცის ძალა|ლორენცის ძალით]], მაშინ როდესაც ბმული მუხტზე ველის მოქმედების აღწერა ბევრად უფრო რთულია, და ''დამაგნიტებისა'' და ''პოლარიზაციის'' ვექტორებით განისაზღვრება.

საჭირო კავშირი ელექტრომაგნიტურ ველებს შორის შეიძლება იყოს განსაზღვრული როგორც ემპირიულად (დადგენილი იქნას ექსპერიმენტულად), ასევე თეორიულად (დადგენილი იქნას [[სტატისტიკური მექანიკა|სტატისტიკური მექანიკის]], [[მყარი ტანის ფიზიკა|მყარი ტანის ფიზიკისა]] და [[თეორიული ფიზიკა|თეორიული ფიზიკის]] სხვა დარგების გამოყენებით). მას შემდეგ, რად ამა თუ იმ გზით, დადგენილია თუ როგორ რეაგირებს გარე ელექტრომაგნიტურ ველზე ბმული მუხტი და დენი, მაქსველის განტოლებები შეიძლება ჩაწერილი იქნას მხოლოდ '''E''' და '''B''' ველების მეშვეობით.

==== დიელექტრიკული და მაგნიტური სხეულების არარსებობის შემთხვევაში ====
თუ განსახილველი პრობლემა არ მოიცავს მაგნიტურ სხეულებსა და [[დიელექტრიკი|დიელექტრიკებს]], მაშინ საძიებელ კავშირს მარტივი სახე აქვს:

:<math>\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0</math>

სადაც ε<sub>0</sub> არის [[ელექტრული მუდმივა]], ხოლო μ<sub>0</sub> კი არის [[მაგნიტური მუდმივა]].

==== წრფივი მატერიალების შემთხვევა ====
წრფივ, იზოტროპულ და არადისპერსიულ გარემოში სხვადასხვა ველებს შორის კავშირს ასევე მარტივი სახე აქვს:
:<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu</math>
სადაც ε და μ არიან მუდმივები (დამოკიდებული კონკრეტულ ნივთიერებაზე) რომლებსაც შესაბამისად [[დიელექტრიკული შეღწევადობა]] და [[მაგნიტური შეღწევადობა]] ეწოდებათ.

==== ზოგადი შემთხვევა ====
რეალური სხეულებისთვის მატერიალურ განტოლებებში შემავალი ველები ხშირად არ არის ერთმანეთის პირდაპირ პროპორციული, თუმცა ხშირად მიახლოებით შეიძლება ისევ ჩაიწეროს როგორც:
:<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu</math>
თუმცა ε და μ როგორც წესი არ არიან მუდმივები და შეიძლება დამოკოდებული იყვნენ: 
* ველის სიდიდეზე (არაწრფივი გარემო); 
* ველის მიმართულებაზე (ანიზოტროპული გარემო). ასეთ დროს ε და μ აღარ არიან სკალარული სიდიდეები და წარმოადგენენ მოერე რანგის [[ტენზორი|ტენზორებს]];
* ველის ვცლილების სიხშირეზე (დისპერსიული გარემო). ასეთ დროს ε და μ დამოკიდებულია სიხშირეზე.

ამის გარდა ε და μ შეიძლება დამოკიდებული იყოს: 
* მატერიალს შიგნით მდებარეობაზე (სივრცულად არაერთგვაროვანი გარემო); 
* ველების ისტორიაზე (ანუ დროში არა მხოლოდ ველის მნიშვნელობაზე დროის განსახილველ მომენტში, არამედ უფრო ადრეულ მომენტებშიც); 
ასეთ შემთხვევაში მატერიალურ განტოლებებს გაცილებით უფრო რთული ფორმა აქვს:<ref name="Jackson">{{cite book | author=Jackson, John David |authorlink=J._D._Jackson | title=Classical Electrodynamics | url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 | edition=3rd ed. | location=New York | publisher=Wiley | year=1999 | isbn=0-471-30932-X}}</ref>
:<math>\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) = \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)</math>
:<math>\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)</math>
:<math>\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \epsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\;
\hat{\chi}_{\mathrm{elec}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')</math>
:<math>\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \;
\hat{\chi}_{\mathrm{magn}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')</math>.

=== მაქსველის განტოლებები წრფივ გარემოში ===
თუ წრფივი გარემოს მატერიალურ განტოლებებს მაქსველის განტოლებებში ჩავსვამთ, მივიღებთ:
:<math>\nabla \cdot (\epsilon \mathbf{E}) = \rho_f </math>
:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>    
:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
:<math>\nabla \times (\mathbf{B} / \mu) = \mathbf{J}_f + \epsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}.</math>

ეს განტოლებები იდენტურია '''E''' და '''B''' ველების მეშვეობით ზემოთ მოყვანილი ფორმისა, იმ განსხვავებით, რომ [[ელექტრული მუდმივა]] შეიცვალა გარემოს [[დიელექტრიკული შეღწევადობა|დიელექტრიკული შეღწევადობით]], ხოლო [[მაგნიტური მუდმივა]] [[მაგნიტური შეღწევადობა|მაგნიტური შეღწევადობით]]. გარდა ამისა, ახლა [[მუხტი]]და და [[ელექტრული დენი]]ს ქვეშ იგულისხმება მხოლოდ ''თავისუფალი'' მუხტი და დენი.

=== მაქსველის განტოლებები ვაკუუმში ===
თუ განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც არ გვაქვს არც ბმული და არც თავისუფალი მუხტები და დენები, მაშინ მაქსველის განტოლებები მიიღებს სახეს:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} =  - \frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \ \    \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}.</math>

ამ სისტემის ერთ-ერთი შესაძლო ამონახსენია გავრცელებადი [[ბრტყელი ტალღა]], რომლისთვისაც ელექტრული და მაგნიტური ველები ერთიერთმართობულია როგორც ერთმანეთის, ასევე ტალთის გავცელების მიმართულების, ხოლო გავრცელების სიჩქარე არის
:<math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. \  </math>

მაქსველის განტოლებები იძლევა ფიზიკურ ახსნას, თუ რატომ ვრცელდება ასეთი ტიპის ტალღები სივრცეში: ცვლადი [[მაგნიტური ველი]] აგენერირებს ცვლად [[ელექტრული ველი|ელექტრულ ველს]] [[ფარადეის ინდუქციის კანონი]]ს შესაბამისად, ხოლო ელექტრული ველი, თავის მხრივ, აგენერირებს ცვლად მაგნიტურ ველს (მაქსველის მიერ შესწორებული [[ამპერის კანონი]]ს შესაბამისად). ეს ურთიერთკავშირი განაპირობებს იმას, რომ ასეთ ტალღებს ([[ელექტრომაგნიტური ტალღა]]) შეუძლიათ გავრცელება სივრცეში ე.წ. [[სინათლის სიჩქარე|სინათლის]] ''c'' სიჩქარით.

== გაუსის ერთეულებში ==
ზემოთ ყველა განტოლება მოცემული იყო [[SI სისტემა]]ში. ალტერნატიულ [[სანტიმეტრი-გრამი-წამი ერთეულთა სისტემა]]ში არსებობს ელექტრომაგნიტური ფიზიკური სიდიდეების ერთეულთა რამდენიმე შესაძლო განსაზღვრება. მათ შორის ყველაზე პოპულარულ, [[გაუსის ერთეულთა სისტემა]]ში მაქსველის განტოლებებს აქვს სახე:<ref name=Littlejohn>{{cite web
 | url=http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/0708/notes/emunits.pdf
 | format=pdf
 | title=Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory
 | work=Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes
 | author=Littlejohn, Robert
 | date=Fall 2007
 | accessdate=2008-05-06
 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20120711092316/http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/0708/notes/emunits.pdf
 | archivedate=2012-07-11
 }}</ref>

:<math> \nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_f</math>

:<math> \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math> \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

:<math> \nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}_f</math>

სადაც  ''c'' არის [[სინათლის სიჩქარე]] [[ვაკუუმი|ვაკუუმში]]. ელექტრომაგნიტური ველისთვის ვაკუუმში გვექნება:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. </math>

ამ ერთეულთა სისტემაში კავშირი [[ელექტრული ინდუქცია|ელექტრული ველის ინდუქციას]],  [[ელექტრული ველის დაძაბულობა]]სა და პლარიზაციის სიმკვრივეს შორის ასეთია:
:<math> \mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi\mathbf{P}.</math>
ხოლო კავშირს [[მაგნიტური ინდუქცია|მაგნიტურ ინდუქციას]], [[მაგნიტური ველის დაძაბულობა]]სა და დამაგნიტებას შორის აქვს შემდეგი სახე:
:<math>\mathbf{B} = \mathbf{H} + 4\pi\mathbf{M}.</math>

წრფივ გარემოში შეიძლება შემოღებული იქნას ელექტრული და მაგნიტური მგრძნობიარობა, ისე რომ :
: <math>\mathbf{P} = \chi_e \mathbf{E}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}.</math>
კავშირს ელექტრულ და მაგნიტურ მგრძნობიარობასა და [[დიელექტრიკული შეღწევადობა|დიელექტრიკულ შეღწევადობასა]] და [[მაგნიტური შეღწევადობა|მაგნიტურ შეღწევადობას]] შორის აქვს სახე
: <math>\ \epsilon = 1+4\pi\chi_e</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\ \mu = 1+4\pi\chi_m</math>
ასე რომ
: <math>\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}.</math>
ვაკუუმში ეს თანაფარდობები კიდევ უფრო მარტივდება 
:<math>\ \epsilon=\mu=1</math>, და შესაბამისად გვაქვს '''D'''='''E''',  '''B'''='''H'''.

[[ლორენცის ძალა]]ს [[გაუსის ერთეულთა სისტემა]]ში აქვს სახე::

: <math>\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\right),</math>

სადაც <math> q \ </math> არის ნაწილაკის მუხტი, ხოლო <math> \mathbf{v} \ </math> მისი [[სიჩქარე]].

== ფარდობითობის სპეციალური თეორია ==
მაქსველის განტოლებებს ახლო კავშირი აქვთ  [[ფარდობითობის სპეციალური თეორია|ფარდობითობის სპეციალურ თეორიასთან]]: ერთი მხრივ ისტორიულად მაქსველის განტოლებებმა უმნიშვნელოვანესი როლი შეასრულეს ამ თეორიის განვითარებაში, ხოლო მერეს მხრივ ფარდობითობის თეორია მაქსველის განტოლებების მათემატიკურად კომპაქტურად ჩაწერის საშუალებას იძლევა  (კოვარიანტული [[ტენზორი|ტენზორების]] მეშვეობით).

=== მაქსველის განტოლებების კოვარიანტული ფორმა ===

ფარდობითობის სპეციალურ თეორიაში იმის ხაზგასასმელად, რომ მაქსველის განტოლებებს ერთი და იგივე ფორმა აქვთ ათვლის ნებისმიერ ინერციულ სისტემაში, მათ წერენ ე.წ. კოვარიანტული სახით [[ოთხვექტორი|ოთხვექტორების]] მეშვეობით.

ასეთი ფორმულირების ერთ-ერთი ინგრედიენტია [[ელექტრომაგნიტური ველის ტენზორი]], მეორე რანგის კოვარიანტული, ანტისიმეტრიული [[ტენზორი]], რომელიც აერთიანებს ელექტრული და მაგნიტური ველის კომპონენტებს:
:<math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  \frac{-E_x}{c} &  \frac{-E_y}{c} &  \frac{-E_z}{c} \\
\frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\frac{E_y}{c}  & -B_z & 0 & B_x \\
\frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{matrix} \right)</math>

იგივე ტენზორის ზედა ინდექსებით ასეთი სახე აქვს
:<math>F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \left( \begin{matrix}
0 &  \frac{E_x}{c} &  \frac{E_y}{c} &  \frac{E_z}{c} \\
\frac{-E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\
\frac{-E_y}{c}  & -B_z & 0 & B_x \\
\frac{-E_z}{c} & B_y & -B_x & 0
\end{matrix} \right).</math>

მაქსველის განტოლებების კოვარიანტული ფორმულირების მოერე ინგრედიენტია დენის ოთხვექტორი:
<math>J^{\alpha} = (c\rho,\vec{J})</math>
სადაც <math>\rho</math> არის [[მუხტის სიმკვრივე]], ხოლო '''J''' არის [[დენის სიმკვრივე]].

ამ სიდიდეების გამოყენებით მაქსველის განტოლებები  ([[SI სისტემა]]ში) ასე ჩაიწერება:
:<math>\mu_{0} \, J^{\beta} \, = \, {\partial F^{\beta\alpha} \over {\partial x^{\alpha}}  } \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, {F^{\beta\alpha}}_{,\alpha} \,</math>

და
:<math>0 = \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\    {F_{\alpha\beta}}_{,\gamma} + {F_{\gamma\alpha}}_{,\beta} +{F_{\beta\gamma}}_{,\alpha}. </math>

პირველი ტენზორული განტოლება არის მაქსველის ორი არაერთგვაროვანი განტოლების ექვივალენტური ([[გაუსის კანონი]] და [[ამპერის კანონი]]), ხოლო მეორე განტოლება ექვივალენტურია იგივობის
:<math>0 = \epsilon^{\delta\alpha\beta\gamma} {F_{\beta\gamma}}_{,\alpha}  </math>

სადაც <math>\, \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}</math> არის [[ლევი-ჩივიტას სიმბოლო]]ს კონტრავარიანტული ვერსია და
:<math>  { \partial \over { \partial x^{\alpha} }   } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)</math>

არის ოთხ-გრადიენტი.

== პოტენციალები ==

მაქსველის განტოლებების ჩაწერა კიდევ ერთი ალტერნატიული ფორმითაა შესაძლებელი [[ელექტრული პოტენციალი]]სა და [[მაგნიტური პოტენციალი]]ს ცნებების გამოყენებით.<ref name="Jackson"/>

[[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]] გვაძლევს:
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B} = 0.</math>
შესაბამისად [[ჰელმჰოლცის გაშლა]] საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ '''B''' როგორც რაღაცა ვექტორული '''A''' ველის ([[მაგნიტური პოტენციალი]]) [[როტორი (მათემატიკა)|როტორი]]:
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.</math>

ამ განტოლების [[ფარადეის ინდუქციის კანონი|ფარადეის ინდუქციის კანონში]] ჩასმა გვაძლევს :
:<math>\nabla\times \left( \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) = 0.</math>
[[ჰელმჰოლცის გაშლა|ჰელმჰოლცის თეორემის]] თანახმად ეს სიდიდე შეიძლება წარმოდგენილი იქნას როგორც რაღაცა სკალარული <math>\varphi</math> ფუნქციის ([[ელექტრული პოტენციალი]]) [[გრადიენტი]]:
:<math>\mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\nabla \varphi.</math>

ამ განტოლებების მაქსველის დარჩენილ ორ განტოლებასთან კომბინირებით მივიღებთ:

:<math>\mathbf E = - \mathbf \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}</math>
:<math>\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A</math>
:<math>\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
:<math>\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J.</math>

მიღებული განტოლებათა სისტემა მაქსველის განტოლებების ექვივალენტურია. მეტიც, ასეთი ფორმულირება გარკვეული აზრით ამარტივებს განტოლებებს, რადგან [[ელექტრული ველის დაძაბულობა]]სა და [[მაგნიტური ინდუქცია]]ს როგორც ვექტორულ ველებს სამ-სამი კომპონენტი აქვთ (სულ 6 უცნობი [[ფუნქცია]]), მაშინ როდესაც ელექტრულ და მაგნიტურ პოტენციალებს ერთად სულ 4 დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვთ.

== იხილეთ აგრეთვე ==
* [[გაუსის კანონი]]
* [[ბიო-სავარის კანონი]]
* [[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]]
* [[ელექტროდინამიკა]]
* [[ლორენცის ძალა]]

== სქოლიო ==
{{სქოლიოს სია|2}}

[[კატეგორია:ელექტროდინამიკა]]