იხილეთ წყარო გვერდისთვის საკუთრივი მნიშვნელობა

{{ექსპერტი}}
[[წრფივი ალგებრა|წრფივ ალგებრაში]], რაიმე <math>A</math> კვადრატული [[მატრიცა (მათემატიკა)|მატრიცის]] '''საკუთრივი ვექტორი''' ეწოდება ისეთ არა-ნულოვან <math>x</math> [[ვექტორი|ვექტორს]], რომლის <math>A</math> მატრიცაზე გამრავლებით მიიღება <math>x</math>-ის კოლინეარული ვექტორი, ანუ იგივე ვექტორი, ოღონდ გამრავლებული რაიმე სკალარზე <math>\lambda</math>: 

<math>Ax = \lambda x</math> 

აღნიშნულ სკალარს ეწოდება '''საკუთრივი მნიშვნელობა'''.

== მიმოხილვა ==
უმრავლესობა ვექტორებისა იცვლის მიმართულებას, როცა მათ რაიმე მატრიცაზე ამრავლებენ. თუმცა, მოცემული მატრიცისთვის შესაძლებელია მოძებნილ იქნას ისეთი ვექტორები, რომელთა მიმართულება ამ მატრიცაზე გამრავლებით არ შეიცვლება და გაიზრდება/შემცირდება მხოლოდ მასშტაბი. მაგალითისთვის განვიხილოთ შემდეგი მატრიცა:
:<math>A = \begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}</math>.
ამ მატრიცის გამრავლებით ვექტორზე
:<math> x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}</math>
მიიღება ვექტორი
:<math> b = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}</math>,
რომელიც მასშტაბით "სამჯერ მეტია" <math>x</math>-ზე: <math>Ax = b = 3x</math>. მაშასადამე, <math>x</math> წარმოადგენს <math>A</math> მატრიცის ''საკუთრივ ვექტორს'', ხოლო 3-იანი კი <math>A</math> მატრიცის ''საკუთრივი მნიშვნელობაა''.

შევნიშნოთ, რომ თუ <math>A</math> [[მატრიცა (მათემატიკა)|იგიური მატრიცაა]], მაშინ ნებისმიერი ვექტორი მის საკუთრივს წარმოადგენს, რადგან <math>Ax = x</math>, ანუ <math>\lambda = 1</math>.

== საკუთრივი მნიშვნელობების თვისებები ==
[[დადებითად განსაზღვრული მატრიცა|დადებითად განსაზღვრული მატრიცის]] საკუთრივი მნიშვნელობები დადებითია.

მატრიცის ახარისხებისას მისი საკუთრივი ვექტორები უცვლელი რჩება, ხოლო საკუთრივი მნიშვნელობები კი ახარისხდება.

== საკუთრივი მნიშვნელობებისა და ვექტორების გამოთვლა ==
გვაქვს, რომ

<math>Ax = \lambda x</math>

<math>Ax - \lambda x = 0</math>

<math>(A - \lambda I)x = 0</math>

საიდანაც, თუ ამონახსნი <math>x \neq 0</math>, <math>A - \lambda I</math> მატრიცა შეუქცევადია და მისი [[დეტერმინანტი]]

<math>det(A - \lambda I) = 0</math>.

ამ უკანასკნელ განტოლებას ''მახასიათებელი განტოლება'' ეწოდება და მას გააჩნია იმდენი ამონახსნი (<math>\lambda</math> საკუთრივი მნიშვნელობა), რამდენიცაა <math>A</math> მატრიცის რიგი. თითოეული <math>\lambda</math>-თვის შესაძლებელია ნაპოვნი იქნეს შესაბამისი საკუთრივი ვექტორი <math>x</math> შემდეგი განტოლების ამოხსნით:

<math>(A - \lambda I)x = 0</math>.

== მაგალითი ==
ვიპოვოთ 

<math>A = \begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}</math>

მატრიცის ყველა საკუთრივი მნიშვნელობა და ვექტორი. ჩავწეროთ მახასიათებელი განტოლება:

<math> det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda \end{vmatrix}
= 3 -4\lambda + \lambda^2 = 0</math>.

ამ [[კვადრატული განტოლება|კვადრატული განტოლების]] ფესვებია <math> \lambda_1 = 3</math> და <math> \lambda_2 = 1</math>. მოძიებული საკუთრივი მნიშვნელობებისთვის ვიპოვოთ შესაბამისი <math> x_1</math> და <math> x_2</math> საკუთრივი ვექტორები:

<math>(A - \lambda_1 I)x_1 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^1_1 \\ x^2_1 \end{bmatrix} = 0</math>

საიდანაც ერთ-ერთი ამონახსნი იქნება

<math>x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}</math>.

ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი <math>k x_1</math> ვექტორიც, სადაც <math>k</math> რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია.

ანალოგიურად, 

<math>(A - \lambda_2 I)x_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^1_2 \\ x^2_2 \end{bmatrix} = 0</math>

<math>x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}</math>.

ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი <math>k x_2</math> ვექტორიც, სადაც <math>k</math> რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია.

==იხილეთ აგრეთვე==
*[[საკუთრივი ფუნქცია]]

==იტერატურა==
{{ქსე|8|685}}

[[კატეგორია:ალგებრა]]