ბეტა ფუნქცია

ესკიზის შექმნის შეცდომა:

ბეტა ფუნქციის იზოხაზი

ბეტა ფუნქცია — სპეციალური ფუნქცია, რომელიც რაიმე $x$ და $y$ (ნამდვილი/კომპლექსური) ცვლადებისთვის შემდეგნაირად განისაზღვრება:

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

იმ პირობით, რომ $\mathrm{\Re }(x)>0,\mathrm{\Re }(y)>0$ (ანუ ცვლადების ნამდვილი ნაწილი დადებითია).

თვისებები

ბეტა ფუნქცია ხასიათდება სიმეტრიულობით:

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$.

ბეტა ფუნქცია შესაძლებელია გამოსახულ იქნას გამა ფუნქციის მეშვეობით:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$.

ბეტა ფუნქციის მეშვეობით შესაძლებელია ჩაიწეროს ჯუფთება $n$-დან $k$-ად:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}.$

არასრული ბეტა ფუნქცია

"ჩვეულებრივი" ბეტა ფუნქციისგან არასრული ბეტა ფუნქცია განსხვავდება მხოლოდ ინტეგრალის ზედა ზღვრით, რომელიც წარმოადგენს ცვლადს:

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt.$

ლიტერატურა

• Press, W. H.; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8